Сколько существует трехзначных чисел, не делящихся ни ** 2, ни ** 3, ни ** 5?

Question

Сколько существует трехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

Answer 1

Обозначим через A, B, C - множества трёхзначных чисел, которые делятся на 2, 3 и 5 соответственно.
A¯, B¯, C¯ - которые не делятся на 2, 3 и 5 соответственно.
Через n(A)  обозначают число элементов множества А и т.д.
Найти  n(A¯∩B¯∩C¯).
Всего трехзначных чисел 999-99=900.

n(A¯∩B¯∩C¯)=900-n(A∪B∪C).

Множества А,В и С - пересекаются.
Применяем формулу включений и исключений
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(A∩C)+n(A∩B∩C)=
 
n(A)=450  чисел кратных 2  (900:2=450)
n(B)=333 чисел кратных 3    (900:3=300)
n(C)=180 чисел кратных 5    (900:5)=180)
n(A∩B)=150 чисел, кратных 6
n(B∩C)=60 чисел, кратных 15
n(A∩C)=90 чисел, кратных 10
n(A∩B∩C)=30 чисел, кратных 30.

n(A∪B∪C)= 450+300+180 -150 -60 - 90 + 30=660

n(A¯∩B¯∩C¯)=900-n(A∪B∪C)=900-660=240 трехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5.
О т в е т. 240 трехзначных  чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5.

Answer 2

Давайте посмотрим, на что они могут заканчиваться.
Ясно, что это цифры 1, 3, 7, 9 (отсюда можно уже не рассматривать делимость на 2 и на 5. Эти числа мы исключили). Остались только те, что не кратны 2 и не кратны 5.
Таких чисел 10×9×4 = 360 (уже лучше, чем все трехзначные)

Хорошо. Дальше в сумме все цифры не должны давать число, кратное 3.

Сумма двух оставшихся чисел максимум составляет 18.

Расмотрим 4 случая

1) **1

Сумма первых двух чисел не может принимать значения 2, 5, 8, 11, 14, 17.

2 = 1+1 = 2 + 1 (-2 числа)

5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5 + 0 (-5 чисел)

8 = 1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4 = 5 + 3 = 6 + 2 = 7 + 1 = 8 + 0 (-8 чисел)

11 = ... (-11 чисел)

14 = ... (-14 чисел)

17 = ... (-17 чисел)

Итого меньше на 57 чисел меньше

2) **3

Сумма не может принимать значения 3, 6, 9, 12, 15, 18

На 63 числа меньше

3) **7

Сумма не может принимать значения 2, 5, 8, 11

На 26 чисел меньше

4) **9

Сумма не может принимать значения 3, 6, 9

На 18 чисел меньше

В итоге мы получаем 360 - 57 - 63 - 26 - 18 = 196.

Ответ: 196