11 класс Интеграллы . Помогите . 84 задание говорить что надо доказать равенство

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$arcsin(x)+arccos(x)=\frac{\pi}{2}$
-----------
Пусть $\alpha =arcsin(x)$ и $\beta =arccos(x)$ .
Теперь нам нужно доказать, что $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$
Имеем $x=sin( \alpha )$ , где $\alpha \in[- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} ]$ , и также $x=cos( \beta )$ , где $\beta \in[0;\pi]$
Откуда $sin( \alpha )=cos( \beta )$ . Используя формулу приведения имеем:
$sin( \alpha )=sin( \frac{\pi}{2}- \beta )$
Отметим, что угол $\frac{\pi}{2}- \beta$ и угол $\alpha$ оба принадлежат промежутку $[- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} ]$ .
Если равны синусы двух углов, которые принадлежат интервалу $[- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} ]$ , то равными также будут и эти углы, т.е.:
$\alpha = \frac{\pi}{2}- \beta$
$\alpha+ \beta = \frac{\pi}{2}$

Что и требовалось доказать

-----------------------------------
формула $arctg(x)+arcctg(x)= \frac{\pi}{2}$
$\alpha =arctg(x)$ , $\beta =arcctg(x)$

$x =tg( \alpha )$ , где $\alpha \in(- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} )$
$x =ctg( \beta )$ , где $\beta \in(0;\pi)$

Теперь нам нужно доказать, что $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$

Аналогично: $tg( \alpha )=ctg( \beta )$
$tg( \alpha )=tg( \frac{\pi}{2} - \beta )$
Углы $\frac{\pi}{2} - \beta$ и $\alpha$ принадлежат интервалу $(- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} )$

значит и $\alpha = \frac{\pi}{2}- \beta$
$\alpha+ \beta = \frac{\pi}{2}$

Что и требовалось доказать

90misha90_zn (30.4k баллов) 30 Апр, 18