Избавьтесь от иррациональности

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$\frac{1}{ \sqrt{a+3}-2 } = \frac{1}{ \sqrt{a+3}-2 } * \frac{\sqrt{a+3}+2 }{ \sqrt{a+3}+2 } = \frac{\sqrt{a+3}+2 }{(\sqrt{a+3}-2 )(\sqrt{a+3}+2 )} = \frac{\sqrt{a+3}+2}{a+3-4}$

Так можно было умножить, потому что $\sqrt{a+3}+2 \ \textgreater \ 0$ и потому что умножение на выражение $\frac{\sqrt{a+3}+2 }{\sqrt{a+3}+2 }$ не изменяет области определения начального выражения.

Второй скользкий момент было сделано умножение по формуле упрощенного умножения: $(\sqrt{a+3}+2)*(\sqrt{a+3}-2 )=( \sqrt{a+3} )^2-2^2=a+3-4=a-1$ казалось бы что такого? А вот это же не всегда правда!
$(\sqrt{a+3}+2)*(\sqrt{a+3}-2 )=$
$= \sqrt{a+3}* \sqrt{a+3}+ 2\sqrt{a+3}- 2 \sqrt{a+3}-4 =$
$=\sqrt{a+3}* \sqrt{a+3}-4 \neq a+3-4=a-1$
Почему не равно, да потому что левое и правое выражения имеют разные области определения, в правое можно подставить любое действительное значение $a$ , в левое же можно подставить лишь значение из интервала $[-3;+\infty)$
Но мы можем это использовать в наших действиях, потому что в числителе сохраняется корень, который требует, что бы а как раз и было из указанного интервала (если не учитывать 1-цу).

P.S. область определения и начального и конечного выражений это вот такой интервал $[-3;1)\cup(1;+\infty)$

90misha90_zn (30.4k баллов) 30 Апр, 18