3) Угол А1'A1A2 = 90° (дано). Значит грань А1А1'A3'A3 - перпендикулярна плоскости основания и основание высоты А3'H лежит на ребре А1А3 призмы. Но А3'Н - высота призмы, так как перпендикулярна основанию. В прямоугольном треугольнике А3'HA3 катет А3'Н лежит против угла 60° и значит А3'Н равен √3/2 от гипотенузы. Гипотенуза равна 5 (дано).
Тогда высота призмы А3'Н=5√3/2.
Площадь боковой поверхности этой призмы равна
3*(4*5√3/2) - так как основание - правильный треугольник и все его стороны равны 4, а грани - равные параллелограммы.
Ответ: Sб=30√3
5) Высота призмы проецируется в точку О - пересечения медиан и равна 6, так как лежит против угла 30° (дано).
Основание - правильный треугольник и в нем медиана является и высотой и биссектрисой. Отрезок А1О лежит против угла 60° и значит равен √3/2 от гипотенузы, то есть 6√3. Но это 2/3 медианы (высоты) А1С. Значит А1С=9√3.
Тогда сторона основания А1А3 равна А1С/Cos30 или
А1А3=9√3/(√3/2)=18.
Высота боковой грани находится из треугольника А1'ОВ и по Пифагору равна √(А1'O²+ОВ²) или А1'В=√(6²+3√3²)=√63=3√7.
Тогда площадь боковой грани равна А1А3*А1'В или 18*3√7=54√7. Таких граней 3, значит площадь боковой поверхности этой призмы равна Sб=3*54√7=162√7.
Ответ: Sб=162√7.
