2x^2+x+2/3x^2−x+3=2x^2−3x+2/x^2−x+1 Научите пожалуйста такое решать

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\frac{2x^2+x+2}{3x^2-x+3} = \frac{2x^2-3x+2}{x^2-x+1} \\\\ \frac{2(x^2+1)+x}{3(x^2+1)-x} = \frac{2(x^2+1)-3x}{(x^2+1)-x} \\\\t=x^2+1\ \textgreater \ 0\\\\\frac{2t+x}{3t-x} = \frac{2t-3x}{t-x} \\\\(2t+x)(t-x)=(2t-3x)(3t-x)\\\\2t^2-2tx+tx-x^2=6t^2-2tx-9tx+3x^2\\\\4t^2-10tx+4x^2=0\; |:2\\\\2t^2-5tx+2x^2=0$

Получили однородное уравнение относительно переменных t и х . Стандартный метод решения : разделить на одну из переменных в квадрате, предварительно проверив с помощью подстановки, не является ли нулевое значение переменной корнем уравнения. Обе переменных одновременно в ноль обращаться не будут:

$x=0\; :\; \; 2t^2-5t\cdot 0+2\cdot 0=0\\\\\quad \quad 2t^2=0\; \; \to \; \; t=0\; ,\; t=x^2+1=0\; \; \to \; \; x^2=-1\; nevozmozno\\\\\Rightarrow x\ne 0\\\\\\2t^2-5tx+2x^2=0\; |:x^2\ne 0\\\\2\cdot (\frac{t}{x} )^2-5\cdot \frac{t}{x} +2=0\\\\D=25-4\cdot 2\cdot 2=9\\\\( \frac{t}{x})_1= \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}\; ,\; \; ( \frac{t}{x})_2= \frac{5+3}{4} =2\\\\1)\; \; \; \frac{t}{x} = \frac{1}{2} \\\\2t=x\; ,\; 2(x^2+1)=x\; ,\; \; \; 2x^2-x+2=0\\\\D=1-4\cdot 2\cdot 2=-15\ \textless \ 0\; \; \Rightarrow \; \;$

нет действительных решений

$2)\; \; \; \frac{t}{x}=2\\\\t=2x\\\\x^2+1=2x \\\\x^2-2x+1=0\\\\(x-1)^2=0\\\\x-1=0\\\\x=1$

Ответ: х=1.
P.S. При проверке получаем верное равенство.

NNNLLL54_zn (829k баллов) 30 Апр, 18