Докажите,что для любого n принадлежит N справедливо равенство ...

Question

Докажите,что для любого n принадлежит N справедливо равенство
1*2*3*4+2*3*4*5+...+n(n+1)(n+2)(n+3)=1/5n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
Помогите пожалуйста

Comments

Методом мат индукции?

---

Да

Answer 1

Для удобства запишем сумму так: S(n)=4!/0!+5!/1! +6!/2!...+(n+3)!/(n-1)!= =1/5 *(n+4)!/(n-1)! 1)Покажем справедливость для n=1 : 4!/0!=1/5 *5!*/0! (Верно) 2) Положим ее верность для n=k,то есть: S(k)=1/5*(k+4)!/(k-1)! 3) На основании предполодения 2) доказываем ее верность для n=k+1 : S(k+1)=S(k)+a(k+1) S(k+1)=S(k)+(k+4)!/k! S(k+1)=1/5 *(k+4)!/(k-1)! +(k+4)!/k!= (1/5*(k+4)!*k +(k+4)!)/k!= (1/5k+1)*(k+4)!/k!= 1/5 *(k+5)*(k+4)!/k!= = 1/5* (k+5)!/k!=S(k+1) Что и требовалось доказать.

Comments

В принципе можно домножить сумму на 5. Сделать перегруппировку и получим нужный результат.Но это все сложно так расписывать.