Найти производную: arcсtg 2√x

Question 1

Question 2

сейчас изменю, не увидел арктангенс

Question 3

$(x^ \alpha)'_x= \alpha *x^{ \alpha -1}$ (1)

$(2 \sqrt{x} )'_x=2*( \sqrt{x} )=2*(x^{ \frac{1}{2} })'_x=2* \frac{1}{2} *x^{ \frac{1}{2}-1 }=x^{- \frac{1}{2} }= \frac{1}{x^{ \frac{1}{2} }} = \frac{1}{ \sqrt{x} }$

производная от сложной функции:
$u(v(t))'_t=u'_v*v'_t$

у нас: $arcctg(2 \sqrt{x} )$

роль $v$ играет функция: $v(x)=2 \sqrt{x}$
роль $u$ играет функция: $u=u(v(x))=arcctg(v(x))=arcctg(2 \sqrt{x} )$

есть формула: $(arcctg(x))'_x=- \frac{1}{1+x^2}$ (2)

тогда у нас: $(arcctg( 2\sqrt{x} ))'_x=(arcctg(v))'_v*(v(x))'_x= -\frac{1}{1+v^2} *(2 \sqrt{x} )'_x=$

$= -\frac{1}{1+(2 \sqrt{x} )^2} * \frac{1}{ \sqrt{x} } =- \frac{1}{(1+4x) \sqrt{x} }$

Ответ: $- \frac{1}{(1+4x) \sqrt{x} }$

P.S. формулы (1) и (2) и формула нахождения производной от сложной функции выводятся из самого определения производной (через лимиты)

90misha90_zn · Answer 1 · 2018-04-30T05:13:43+0000

$(x^ \alpha)'_x= \alpha *x^{ \alpha -1}$ (1)

$(2 \sqrt{x} )'_x=2*( \sqrt{x} )=2*(x^{ \frac{1}{2} })'_x=2* \frac{1}{2} *x^{ \frac{1}{2}-1 }=x^{- \frac{1}{2} }= \frac{1}{x^{ \frac{1}{2} }} = \frac{1}{ \sqrt{x} }$

производная от сложной функции:
$u(v(t))'_t=u'_v*v'_t$

у нас: $arcctg(2 \sqrt{x} )$

роль $v$ играет функция: $v(x)=2 \sqrt{x}$
роль $u$ играет функция: $u=u(v(x))=arcctg(v(x))=arcctg(2 \sqrt{x} )$

есть формула: $(arcctg(x))'_x=- \frac{1}{1+x^2}$ (2)

тогда у нас: $(arcctg( 2\sqrt{x} ))'_x=(arcctg(v))'_v*(v(x))'_x= -\frac{1}{1+v^2} *(2 \sqrt{x} )'_x=$

$= -\frac{1}{1+(2 \sqrt{x} )^2} * \frac{1}{ \sqrt{x} } =- \frac{1}{(1+4x) \sqrt{x} }$

Ответ: $- \frac{1}{(1+4x) \sqrt{x} }$

P.S. формулы (1) и (2) и формула нахождения производной от сложной функции выводятся из самого определения производной (через лимиты)