Пусть основание высоты (на гипотенузе) - это точка О. С - вершина прямого угла. Тогда высота - это вектор h = ОС, отрезки гипотенузы k = OA; p = BО;
(*****первая точка означает начало вектора, вторая - конец, к примеру, ОА = - АО)
и стороны треугольника можно записать так
CB = p + h;
CA = k - h;
BA = k + p;
Поскольку АВС прямоугольный треугольник, то
(k + p)^2 = (k - h)^2 + (p + h)^2;
Раскрываем скобки.
k^2 + 2kp + p^2 = k^2 - 2kh + h^2 + p^2 + 2ph + h^2;
Вектор h перпендикулярен векторам k и p, => скалярные произведения kh и ph равны 0.
Скалярное произведение kp = kp (то есть произведение длин отрезков гипотенузы), поскольку эти векторы коллинеарны.
Поэтому
kp = h^2; чтд.