Доказать тождество (1+cos(a/2) - sin(a/2))/(1-cos(a/2)-sin(a/2)) = -ctg(a/4)

Question

Доказать тождество (1+cos(a/2) - sin(a/2))/(1-cos(a/2)-sin(a/2)) = -ctg(a/4)

---

Answer 1

докажем вот так  

-ctg(a/4)=-ctg(a/2/2)=-1-cos(a/2)/sin(a/2)

 

 

(1-sina+cosa)(1-sina-cosa)/(1-cosa-sina)^2

((1-sina)^2-cos^2a)/(1-cosa-sina)^2




((1-2sina+sin^2a-cos^2a)/((1 + sin^2 a + cos^2 a - 2sin a - 2cos a + 2sina*cosa) =



(2sin^2a-2sina)/(2-2sina-2cosa+2sinacosa)= sin^2a-sina/(1-sina-cosa+sinacosa) =


sina(sina-1) / (-sina+1 - cosa(1-sina)


-sina+1 = -(sina-1)


-cosa+sinacosa=cosa (sina-1)


-(sina-1)+cosa(sina-1)= (cosa-1)(sina-1)
ставим

sina/cosa-1

что и требовалось доказать

 

 

 

 

Answer 2

представляем соs и sin как двойные углы

(1+сos^2 a/4 -sin^2 a/4 -2sin a/4 cos a/4)/(1-cos^2 a/4 + sin^2 a/4 -2 sin a/4 cos a/4)= -ctg a/4

группируем: 1-sin^2 a/4=cos^2 a/4 в числителе

1-соs^2 a/4=sin^2 a/4 в знаменателе

(cos^2 a/4+cos^2 a/4 -2sin a/4 cos a/4)/(sin^2 a/4+sin^2 a/4 - 2 sin a/4 cos a/4)= -ctg a/4

(2cos^2 а/4-2sin a/4 cos a/4)/(2sin^2 a/4 -2 sin a/4 cos a/4)= -ctg a/4

2cos a/4(cos a/4- sin a/4)/-2 sin a/4(cos a/4-sin a/4)= -ctg a/4

cos a/4 /-sin a/4=-ctg a/4

- ctg a/4=-ctg a/4 (верно)

Тождество верно