Известно, что квадратные трехчлены x2 + px + q = 0 и x2 + qx + p = 0 имеют различные...

Question

Известно, что квадратные трехчлены
x2 + px + q = 0 и x2 + qx + p = 0
имеют различные действительные корни. Рассмотрим всевозможные парные произведения корней первого квадратного трехчлена на корни второго (всего таких произведений четыре). Докажите, что сумма обратных величин данных произведений не зависит от p и q.

Answer 1

Обозначим решения 1 ур-ния a и b, а 2 ур-ния c и d.
По теореме Виета
a+b=-p
a*b=q
c+d=-q
c*d=p
Сумма обратных произведений пар корней
1/(a*c) + 1/(a*d) + 1/(b*c) + 1/(b*d)=
(bd+bc+ad+ac)/(ab*cd)=
(b(c+d)+a(c+d))/(ab*cd)=
(a+b)(c+d)/(ab*cd)=(-p)(-q)/(pq)=1