Такие задачи решаются довольно нудно.
Область определения - это область допустимых значений аргумента.
В нашем случае под корнем не должно быть отрицательного числа.
Другими словами, оба подкоренных произведения должны быть больше или равны нулю:
(х-3)(х-5) ≥ 0
(1-х)(7-х) ≥ 0
Это система неравенств. Решаем их. Удобно то, что левые части (квадратные трехчлены) представлены в виде произведений. Нет необходимости искать корни квадратных трехчленов.
1. (х-3)(х-5) ≥ 0
Решаем методом интервалов.
Корни х1 и х2 равны 3 и 5. Отмечаем корни на оси х. Получаем 3 интервала.
+ - +
-----------⊕-------------⊕--------------->
3 5 х
На самом правом интервале трехчлен будет положительным (очевидно, что при любых х > 5 трехчлен положительный), а в остальных интервалах знак трехчлена будет меняться при прохождении границы между интервалами.
В качестве решения мы берем интервалы, где трехчлен положителен.
А поскольку неравенства нестрогие, интервалы берем вместе с их границами (с самими корнями), где трехчлен обращается в нуль. Поэтому на чертеже точки не "пустые" (о), а "зачерненные" (⊕)
x∈ (-∞, 3] ∪ [5, ∞)
2. (1-х)(7-х) ≥ 0
Корни х1 и х2 равны 1 и 7. Отмечаем корни на оси х.
Получаем 3 интервала.
+ - +
-----------⊕-------------⊕--------------->
1 7 х
На самом правом интервале трехчлен положителен (очевидно, что при любых х > 7 оба сомножителя отрицательны, но их произведение положительно), а в остальных интервалах знак трехчлена будет меняться при прохождении границы между интервалами.
В качестве решения мы берем интервалы, где трехчлен положителен.
А поскольку неравенства нестрогие, интервалы берем вместе с их границами (с самими корнями), где трехчлен обращается в нуль. Поэтому на чертеже точки не "пустые" (о), а "зачерненные" (⊕)
x∈ (-∞, 1] ∪ [7, ∞)
3. Теперь нам нужно объединить оба решения, поскольку нужно, чтобы оба корня извлекались из неотрицательного числа.
Это проще сделать на координатной оси. Отмечаем оба множества на оси с помощью штриховки:
x∈ (-∞, 3] ∪ [5, ∞) - штриховка \\\\\ (над осью)
x∈ (-∞, 1] ∪ [7, ∞) - штриховка /////// (под осью)
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
--------⊕---------⊕----------⊕---------⊕------------->
1 3 5 7 х
////////// /////////////////
Наглядно видно, что оба условия выполняются там, где штриховки совпадают, налагаются друг на друга.
Получаем х ∈ (-∞, 1] ∪ [7, ∞) Это и будет ответ.