Решите уравнение 5sin^2x-3sinxcosx=4

Question 1

Question 2

$5\sin^2x-3\sin x\cos x=4$

Основное тригонометрическое тождество: $1=\sin^2 x+\cos^2x$

В правой части уравнения число $4$ можно представить как $4\cdot 1$ , т.е. если подставить основное тригонометрическое тождество, получим:

$5\sin^2 x-3\sin x\cos x=4(\sin^2 x+\cos^2x)$
Раскрываем скобки и упрощаем

$5\sin^2 x-4\sin^2 x-3\sin x\cos x-4\cos^2 x=0\\ \sin^2 x-3\sin x\cos x-4\cos^2x=0$
Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ , получим:

$\frac{\sin^2x}{\cos^2x} -3\cdot \frac{\sin x}{\cos x} -4=0$

Очевидно, что $\frac{\sin x}{\cos x} =tg x$ , тоесть получаем:
$tg^2x-3tg x-4=0$

Сделаем замену
Пусть $tg x=t\,\,(t \in R)$ , получаем
$t^2-3t-4=0$

По т. Виета:
$t_1=4\\ t_2=-1$

Возвращаемся к замене
$tg x=4\\ x=arctg(4)+\pi n,n \in Z\\ \\ tg x =-1\\ x=arctg(-1)+\pi n,n \in Z\\ x=- \frac{\pi}{4}+\pi n,n \in Z$

аноним · Answer 1 · 2018-04-30T06:28:09+0000

$5\sin^2x-3\sin x\cos x=4$

Основное тригонометрическое тождество: $1=\sin^2 x+\cos^2x$

В правой части уравнения число $4$ можно представить как $4\cdot 1$ , т.е. если подставить основное тригонометрическое тождество, получим:

$5\sin^2 x-3\sin x\cos x=4(\sin^2 x+\cos^2x)$
Раскрываем скобки и упрощаем

$5\sin^2 x-4\sin^2 x-3\sin x\cos x-4\cos^2 x=0\\ \sin^2 x-3\sin x\cos x-4\cos^2x=0$
Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ , получим:

$\frac{\sin^2x}{\cos^2x} -3\cdot \frac{\sin x}{\cos x} -4=0$

Очевидно, что $\frac{\sin x}{\cos x} =tg x$ , тоесть получаем:
$tg^2x-3tg x-4=0$

Сделаем замену
Пусть $tg x=t\,\,(t \in R)$ , получаем
$t^2-3t-4=0$

По т. Виета:
$t_1=4\\ t_2=-1$

Возвращаемся к замене
$tg x=4\\ x=arctg(4)+\pi n,n \in Z\\ \\ tg x =-1\\ x=arctg(-1)+\pi n,n \in Z\\ x=- \frac{\pi}{4}+\pi n,n \in Z$