Вычтем из первого число второе:
(2017^2017 + 2016^2016)-(2017^2016 + 2016^2017)=
=(2017^2017-2017^2016)+(2016^2016-2016^2017)=
=2017^2016*(2017-1)+2016^2016*(1-2016)=
=(2017^2016)*2016 - (2016^2016)*2015>0,
Последнее неравенство верно, т.к. очевидно 2017^2016 > 2016^2016 и 2016>2015, т.е. первое число больше второго.