Какое отношение царь ИванIII имеет к современному гербу России???

Вообще при Иване III как раз ввёлся двуглавый орёл в 1497 году (если не изменяет память, это как-то связано с Византией), но тогда он был оттиском на печати. Потом стал гербом.