Первый корень подбираем как делитель свободного члена 81. Это могут быть числа 
При х=1 многочлен, стоящий в правой части равенства обращается в 0, поэтому х=1 - корень уравнения. Делим многочлен 4 степени на разность (х-1), должны получить многочлен 3 степени и в остатке 0.
х^4-10x³+90x-81 | x-1
-(x^4-x³) | ----------------
------------------ x³-9x²-9x+81
-9x³+90x-81
-(-9x³+9x²)
----------------------
-9x²+90x-81
-(9x²+9x)
------------------
81x-8x
81x-81
------------
0
Можно записать разложение на множители многочлена 4 степени:
x^4-10x³+90x-81=(x-1)(x³-9x²-9x+81)
Теперь или опять подберём корень или разложим на множители многочлен 3 степени:
x³-9x²-9x+81= x²·(x-9)-9·(x-9)=(x-9)(x²-9)=(x-9)(x-3)(x+3)
Теперь запишем:
x^4-10x³+90x-81=(x-1)(x-9)(x-3)(x+3)=0
x=1, x=9 , x=3 , x=-3.