Можно немножко поинтегрировать, а можно заметить, что момент относительно диаметра равен половине момента относительно оси, проходящей через центр перпендикулярно площади кольца.
Последний момент едва ли не по определению равен mR^2, так что искомая величина mR^2 / 2.
"Доказательство" утверждения о том, что в данном случае Jx = Jy = Jz/2.
Ну а то, что - очевидно из симметрии.