Построение графика функции с помощью производной

Попробуем исследовать в меру возможного.
1) Область определения.
X⊂ R или Х ⊂ (-∞;+∞)
2) Непрерывная. Разрывов нет.
3) На четность. У(1) = 2/5 и У(-1) = 0. Функция ни четная, ни нечетная.
4) Пересечение с осью Х при Х= -1.
Пересечение с осью У при Х=0 У=1
5) Асимптоты. Lim(-∞) = 0. Lim(+∞) = 0.
6) Монотонность.
Производная
$Y'= \frac{1}{ x^{2} +1}- \frac{2x(x+1)}{ ( x^{2} +1)^{2} }$
Убывает - Х⊂(-∞,-√2-1]∪[√2-1,+∞)
Возрастает - X⊂[-√2-1,√2-1]
Точки экстремума.
$Ymin =- \frac{ \sqrt{2} }{(- \sqrt{2}-1 ) ^{2}+1 }$
$Ymax= \frac{ \sqrt{2} }{( \sqrt{2}-1 )^{2}+1 }$
График, конечно, приблизительный.