1. По свойствам параллельных прямых и секущей, накрест лежащие углы равны. Т.к. углы ADB и CBD равны, то для АD и BC они являются накрест лежащими, а, значит АD и BC - параллельны. Соответственно углы ABD и CDB равны, значит они являются накрест лежащими для прямых AB и CD, отсюда AB и CD - параллельны. Т.к. АD и BC - параллельны друг другу и AB и CD - параллельны, то AB=CD и, АD=BC. Следовательно, четырехугольник ABCD - параллелограмм.
2. Пусть одна сторона прямоугольника х, другая в 5 раз больше - 5х. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле х+5х+х+5х и по условию это равно 36. Значит, х+5х+х+5х= 36. Отсюда 12х=36, а х=3. Значит, одна сторона 3, другая - 15.
3. По свойствам ромба, диагональ является его биссектрисой, и противолежащие углы ромба равны. Значит один угол равен 2*68=136 и противолежащий угол равен 136. Т.к. сумма всех углов четырехугольника 360, то сумма двух других углов будет 360-136=224, а углы будут по 112 градусов.
4. Примем отрезок АР за х, тогда отрезок ВР будет 6х, отсюда х+6х=14, х=2. Значит, АР=2, ВР=12. Т.к. ABCD - параллелограмм, то AB и CD - параллельны, а DР - секущая, по свойствам параллельных прямых и секущей, накрест лежащие углы равны. Значит, угол PDC равен углу APD, и равен углу PDA (т.к. по условию DP - биссектриса). Значит, треугольник DAP - равнобедренный, и в нем AP=AD=2 и равно BC. Отсюда периметр ABCD - 14+2+14+2=32.
5. Т.к. у ромба все стороны равны, то AB=BC=CD=DA=32/4=8. Рассмотрим треугольник KBD. Угол KBD=15 и угол BKD=90 (по условию), значит, угол BDK=180-15-90=75. По свойствам ромба, угол ADB=CDB=75, значит угол ADC=ABC=150, а угол DAB=DCB=(360-150*2)/2=30. Рассмотрим треугольник АВК. Угол ВКА - прямой (по условию, угол ВАК=30. АВ - гипотенуза. По свойству прямоугольного треугольника, сторона, лежащая против угла 30 град равна половине гипотенузы. Отсюда ВК=АВ/2=8/2=4.
6. Рассмотрим треугольники МЕД и ВЕК. Сторона МЕ=ЕК (по условию), сторона ВЕ=ЕД (по свойствам параллелограмма), уголВЕК равен углу МЕД (как смежные), значит треугольник МЕД равен треугольнику ВЕК и ВК=ДМ. Отсюда угол МДЕ равен углу КВЕ, значит, ИВ является секущей для двух параллельных прямых ВК и МД по свойствам параллельных прямых и секущей. Аналогично рассматриваем треугольники ВЕМ и ДЕК. они так же равны, ВМ=ДК, МК является секущей для параллельных прямых ВМ и КД. Следовательно ВКДМ - параллелограмм. ЧТД.