Родился в Майкопе 12 (24) марта 1872 года в большой семье купца II гильдии, владельца спиртзавода Георгия Никитовича Шапошникова — первого городского головы Майкопа, армянин по национальности. Династия Майкопских Шапошниковых ведет своё начало от нахичеванского армянина Никиты Шапошникова.
С детства Хачатур увлекался коллекционированием бабочек,впоследствии переросло в серьёзное увлечение энтомологией. В 1892 г. окончил реальное училище в Екатеринодаре, в 1901 г. — Рижский политехнический институт (став агрономом первого разряда), в 1903—1906 гг. был слушателем Берлинского университета. Побывал в зоологических экспедициях по Северной Африке, Средней Азии, Закавказью, Турции.
Возвратившись в 1907 г. из Берлина в Майкоп, Хачатур Георгиевич устроился лесничим в Белореченскоелесничество Войска Кубанского. В наследство от разорившегося отца Шапошников получил большой дом в центре Майкопа, половину которого превратил в общедоступный музей.