Преобразовать сумму в произведение 1 + tg a

Решите задачу:

$1+tg \alpha =1+\frac{sin \alpha }{cos \alpha }=\frac{sin \alpha +cos \alpha }{cos \alpha }=\frac{sin \alpha +sin(\frac{\pi}{2}- \alpha )}{cos \alpha }=\\\\=\frac{2sin\frac{\pi}{4}\cdiot cos( \alpha -\frac{\pi}{4})}{cos \alpha }=\frac{2\cdot \frac{\sqrt2}{2}\cdot cos( \alpha -\frac{\pi}{4})}{cos \alpha }=\sqrt2\cdot cos( \alpha -\frac{\pi}{4})\cdot \frac{1}{cos \alpha }=\\\\=\sqrt2\cdot cos( \alpha -\frac{\pi}{4})\cdot sec \alpha$