Log3 log3 x=log9 (5-4log3 x)

$log_3(log_3x)=log_9(5-4log_3x)$

ОДЗ:
$\left[\begin{array}{ccc}log_3x\ \textgreater \ 0\\5-4log_3x\ \textgreater \ 0\\x\ \textgreater \ 0\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}log_3x\ \textgreater \ log_33^0\\5\ \textgreater \ 4log_3x\\x\ \textgreater \ 0\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}x\ \textgreater \ 3^0\\\frac{5}{4}\ \textgreater \ log_3x\\x\ \textgreater \ 0\end{array}\right\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}x\ \textgreater \ 1\\log_33^\frac{5}{4}\ \textgreater \ log_3x\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}x\ \textgreater \ 1\\3^{\frac{5}{4}}\ \textgreater \ x\end{array}\right lODZ:1\ \textless \ x\ \textless \ 3^{\frac{5}{4}}$

по свойствам логарифмов:
$log_3(log_3x)=log_9(5-4log_3x)\\log_3(log_3x)=log_{3^2}(5-4log_3x)=log_3\sqrt{5-4log_3x}\\log_3x=\sqrt{5-4log_3x}$

возведём в квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от иррациональности:
$(log_3x)^2=5-4log_3x$

обозначим $log_3x$ переменной $a$ , тогда
$a^2=5-4a\to a^2+4a-5=0\\D=16+20=36=6^2\\a_1=\frac{-4+6}{2}=1\\a_2=\frac{-4-6}{2}=-5$

из вышеприведённой замены:
$\left[\begin{array}{ccc}log_3x=1\\log_3x=-5\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}x=3^1\\x=3^{-5}\end{array}\right$

$3^{-5}$ меньше единицы, а потому является исключением ОДЗ, определённого ранее; ответ: $x=3$