Помогите пожалуйста! решите уравнение! нужно очень сильно(ответ нужен с решением) даю 73...

Question

Дан 1 ответ

HomoCivicus_zn · Answer 1 · 2018-05-02T02:38:49+0000

Охх, а это ведь очень интересный вид уравнения - возвратное, или симметричное уравнение. т. е. оно имеет симметричные относительно среднего члена коэффициенты (в данном случае 1 -6 -5 -6 1). Такое уравнение имеет вид $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + bx + a$ и решается особым способом.

- Сначала делим обе части уравнения на $x^{2}$ . Это один из немногих случаев, когда можно смело делить на переменную без потери решений. Разделим на $x^{2}$ . Получится:
$x^{2} - 6x -5 - \frac{6}{x} + \frac{1}{ x^{2}} = 0$

- Теперь выносим как общие множители коэффициенты a и b (см. общий вид уравнения). В данном случае у нас получится:
$1 * ( x^{2} + \frac{1}{ x^{2}}) -6 * (x + \frac{1}{x}) - 5 = 0$

- Далее вводим переменную $t = x + \frac{1}{x}$
Введём t в наше уравнение:
$t^{2} + 2 -6t -5 =0$
"Почему получилось $t^{2}+2$ "? - спросите вы.
Да потому что $t^{2} = (x + \frac{1}{x}) ^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{ x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{ x^{2}} +2$
Таким образом, мы получили уравнение
$t^{2} - 6t -3 = 0$
А это уже самое обыкновенное квадратное уравнение. Решаем)

$t^{2} - 6t -3 = 0$
D = 36 + 12 = 48
$t_{1} = \frac{6 + 4 \sqrt{3} }{2} = \frac{2(3+2 \sqrt{3}) }{2} = 3 +2 \sqrt{3}$
$t_{2} = \frac{6 - 4 \sqrt{3} }{2} = 3 - 2 \sqrt{3}$

Ну вот, получили 2 значения t. Теперь вспоминаем, что $t = x + \frac{1}{x}$
Значит,

1)
$\frac{ x^{2} +1}{x} = 3+2 \sqrt{3}$
$x^{2} +1 = 3x+2x \sqrt{3}$
$x^{2} -3x-2x \sqrt{3} +1 = 0$
$x^{2} -(3+2 \sqrt{3})x+1 = 0$
Решаем это квадратное уравнение, получаем 2 корня:
$\frac{3+2 \sqrt{3} + \sqrt{12 \sqrt{3}+17}}{2}$
$\frac{3+2 \sqrt{3} - \sqrt{12 \sqrt{3}+17}}{2}$

2)
$\frac{ x^{2}+1}{x} = 3-2 \sqrt{3}$
$x^{2} +1= 3x-2x \sqrt{3}$
$x^{2} -3x+2x \sqrt{3} +1 = 0$
$x^{2} -(3-2 \sqrt{3})x +1=0$
В данном квадратном уравнении корни:
$\frac{3-2 \sqrt{3}+ \sqrt{17-12 \sqrt{3} } }{2}$
$\frac{3-2 \sqrt{3}- \sqrt{17-12 \sqrt{3} } }{2}$

Многочлен 4 степени имеет 4 корня, мы нашли их все.

Ответ:
$\frac{3+2 \sqrt{3} + \sqrt{12 \sqrt{3}+17}}{2}$ ,
$\frac{3+2 \sqrt{3} - \sqrt{12 \sqrt{3}+17}}{2}$ ,
$\frac{3-2 \sqrt{3}+ \sqrt{17-12 \sqrt{3} } }{2}$ ,
$\frac{3-2 \sqrt{3}- \sqrt{17-12 \sqrt{3} } }{2}$ .