Докажите что при любом целом значении x выражение x^3+41x делится ** 6

Question

Дан 1 ответ

logenorisec_zn · Answer 1 · 2018-05-02T02:46:27+0000

Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ разделим на три класса:
$\mathbb{Z} = \mathbb{Z}_0 + \mathbb{Z}_1 + \mathbb{Z}_2$ , где + обозначает операцию объединения и изначает, что множества $\mathbb{Z}_0,\mathbb{Z}_1,\mathbb{Z}_2,$ дисъюнктны.
$\mathbb{Z}_0 = \{a \in \mathbb{Z} | \exists{b \in \mathbb{Z}: a = b*3}\}$
$\mathbb{Z}_1 = \{a \in \mathbb{Z} | \exists{b \in \mathbb{Z}: a = b*3+1}\}$
$\mathbb{Z}_2 = \{a \in \mathbb{Z} | \exists{b \in \mathbb{Z}: a = b*3+2}\}$
Данное разделение множества целых чисел существует по принципу решета Эрастофена.
$x \equiv 0\ \ (mod 6) \Leftrightarrow x \equiv 0 \ \ (mod 2) \land x \equiv 0 \ \ (mod3)$
$x^3 + 41x = x(x^2 + 41)$ .
Так как при четном x выражение делится на два, а при нечетном $x^2 + 41$ делится на два (сумма нечетных чисел четна), то есть выражение все равно делится на два, первое условие выполнено. Докажем, что x делится на 3:
Так как $x \in \mathbb{Z} = \mathbb{Z}_0 + \mathbb{Z}_1 + \mathbb{Z}_2$ , то рассмотрим три случая:
1) $x \in \mathbb{Z}_0 \Rightarrow x^3 + 41x \equiv 0 \ \ (mod 3)$ так как $x^3 + 41x = x(x^2+41)$ .
2) $x \in \mathbb{Z}_1 \Rightarrow \exists{b \in \mathbb{Z} : x = 3b + 1}$
$x^2 + 41 = (3b)^2 + 2*(3b)*41 + 1 + 41 = 3*m + 42 = 3*n$ для каких-то $m,n \in \mathbb{Z}$ , то есть $x^3+41x \equiv 0 \ \ (mod 3)$ .
3) $x \in \mathbb{Z}_2 \Rightarrow \exists{b \in \mathbb{Z} : x = 3b + 2}$ .
$x^2 + 41 = (3b)^2 + 2*(3b)*41 + 4 + 41 = 3m + 45 = 3n$ для каких-то $m,n \in \mathbb{Z}$ , то есть $x^3+41x \equiv 0 \ \ (mod 3)$ .
Тогда для всех $x \in \mathbb{Z}$ выражение $x^3+41x$ делится на 6.