40 БАЛЛОВДля положительных a и b выплняется равенство a+b=a²+b²=a³+b³. Докажите что a=b=1.

0 голосов
42 просмотров

40 БАЛЛОВ
Для положительных a и b выплняется равенство a+b=a²+b²=a³+b³. Докажите что a=b=1.


Математика (659 баллов) | 42 просмотров
0

1+1=2

Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

A^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) по условию равно a + b.

a + b не равно 0, значит, a^2 - ab + b^2 = 1 или a^2 - ab + b^2 - 1 = 0

Теперь вспоминаем, что a^2 + b^2 = a + b:
a + b - ab - 1 = 0
(a - ab) + (b - 1) = 0
(a - 1)(b - 1) = 0

Для того, чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из сомножителей должен быть равен нулю, т.е. хотя бы одно из чисел a, b, равно 1. 

Без умаления общности можно считать, что a = 1 (система симметрична относительно замены a на b и наоборот). Докажем, что b = 1.

Подставляем a = 1 в равенство a^2 + b^2 = a + b:
b^2 + 1 = b + 1
b^2 - b = 0
b(b - 1) = 0

b > 0, значит, b = 1, как и требовалось.

(148k баллов)