Дано уравнение
2x3+14=02x3+14=0
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
(2√3x)3−−−−−−√3=−14−−−−√3(23x)33=−143
или
2√3x=−14−−−−√323x=−143
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
x*2^1/3 = (-14)^(1/3)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
x*2^1/3 = -14^1/3
Разделим обе части ур-ния на 2^(1/3)
x = (-14)^(1/3) / (2^(1/3))
Получим ответ: x = (-7)^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
z=2√3xz=23x
тогда ур-ние будет таким:
z3=−14z3=−14
Любое комплексное число можно представить так:
z=reipz=reip
подставляем в уравнение
r3e3ip=−14r3e3ip=−14
где
r=14−−√3r=143
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
e3ip=−1e3ip=−1
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
isin(3p)+cos(3p)=−1isin(3p)+cos(3p)=−1
значит
cos(3p)=−1cos(3p)=−1
и
sin(3p)=0sin(3p)=0
тогда
p=2π3N+π3p=2π3N+π3
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
z1=−14−−√3z1=−143
z2=14−−√32−3√i214−−√3z2=1432−3i2143
z3=14−−√32+3√i214−−√3z3=1432+3i2143
делаем обратную замену
z=2√3xz=23x
x=223z2x=223z2
Тогда, окончательный ответ:
x1=−7√3x1=−73
x2=2232(14−−√32−3√i214−−√3)x2=2232(1432−3i2143)
x3=2232(14−−√32+3√i214−−√3)