Геометрия помогает алгебре
Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.
Пословица.
Анри Пуанкаре сказал, что математика — это искусство называть разные вещи одина-
ковыми именами. Осмелимся добавить: а одинаковые вещи — разными именами. То есть
один и тот же объект можно описывать на разных языках, видеть разными глазами. При
этом непонятное ранее утверждение может стать очевидным, а к сложной задаче может
отыскаться лёгкое решение.
На школьном уровне эта идея обычно реализуется как перевод на язык алгебры арифме-
тических задач (текстовые задачи решают с помощью уравнений) и геометрических задач
(координатный и векторный методы). Такой перевод позволяет алгоритмизировать реше-
ние задач. Заметим, что алгоритмизация не всегда полезна: не нужно ничего изобретать,
решение идёт по накатанной схеме. “Решать с помощью уравнений задачу, допускающую
простое арифметическое решение, безнравственно.” [1, с. 46]
Менее известны другие случаи, когда арифметические и алгебраические задачи удобно
решать на геометрическом языке.
Таким примерам и посвящена эта статья.
Доказать значит сделать очевидным
Ключевые факты полезно формулировать на разных языках, чтобы каждый ученик
усваивал их на свойственном ему языке. Для многих вовремя показанная картинка может
раз и навсегда навести ясность и спасти от типичных ошибок.
1. Переместительный закон сложения для положительных чисел можно пояснять так:
поезд проехал a км от Москвы до Твери и b км от Твери до Петербурга. На обратном пути
он проехал те же расстояния в обратном порядке, и общий путь был тот же самый. Значит,
a + b = b + a.
Переместительный закон сложения для целых чисел хорошо пояснять с помощью дви-
жения лифта. Например, (+3) + (−5) означает, что лифт поехал сначала на 3 этажа вверх,
а потом на 5 вниз. А (−5) + (+3) означает, что лифт сначала поехал на 5 этажей вниз, а
потом на 3 вверх. Ясно, что в итоге он переместился на одно и то же число этажей в одну
и ту же сторону3. Тот же Пуанкаре говорил, что научиться складывать дроби можно двумя способами:
разрезая яблоки и . . . разрезая пироги. В статье и на доске проще резать прямоугольники
(“шоколадки”), но суть будет та жеСпросите пятиклассника, чему равен квадрат суммы — и он наверняка ответит “сумме
квадратов”. Переубедить его проще всего с помощью картинки 6: считаем площадь боль-
шого квадрата двумя способами. Говорят, когда Руссо учился в школе, его убедило только
такое доказательство. Можно придумать картинки для доказательства разложения квад-
рата суммы трёх слагаемых, для разности квадратов и даже для куба суммы [2]. Правда,
последнее является скорее тренировкой пространственного воображения, но это тоже по-
лезно.
5. Формула для производной произведения двух функций, как и формула суммы квад-
ратов, не принадлежит к числу интуитивно ясных: хочется по аналогии с производнойсуммы сказать “равна произведению производных”. В эту ловушку попался сначала да-
же. . . Лейбниц, один из создателей дифференциального исчисления.