Y= Решить по плану. В 7 пункте плана продолжение "графика функции берем точки из области...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$y=\frac{x}{ x^{2} -9}$

1. Область определения функции:
$x^2-9 \neq 0 \\ x^2 \neq 9 \\\ x \neq \pm3 \\\ D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty)$

2. Исследование на четность:
$y(-x)=\frac{-x}{ (-x)^{2} -9} =\frac{-x}{ x^{2} -9} =-\frac{x}{ x^{2} -9} =-y(x)$ - функция нечетная

3. Точки пересечения с осями координат:
$\frac{x}{ x^{2} -9} =0 \Rightarrow x=0 \\\ y(0)= \frac{0}{ 0^{2} -9} =0$
- точка (0; 0)

4. Исследование на монотонность и экстремумы:
$y'=\frac{x'(x^2-9)-x(x^2-9)'}{( x^{2} -9)^2}= \frac{x^2-9-x\cdot 2x}{( x^{2} -9)^2}= \frac{x^2-9-2x^2}{( x^{2} -9)^2}= \frac{-x^2-9}{( x^{2} -9)^2} \\\ y'=0: \\\ \frac{-x^2-9}{( x^{2} -9)^2}=0$
Числитель всегда отрицателен, а знаменатель всегда положителен. Значит производная всегда отрицательна, точек экстремума нет, функция убывает на всей области определения

5. Исследование на перегибы:
$y''=-\frac{(x^2+9)'( x^{2} -9)^2-(x^2+9)(( x^{2} -9)^2)'}{( x^{2} -9)^4} = \\\ =-\frac{2x( x^{2} -9)^2-(x^2+9)\cdot 2(x^2-9)\cdot2x}{( x^{2} -9)^4} = -\frac{2x( x^{2} -9)^2-4x(x^2+9)(x^2-9)}{( x^{2} -9)^4} = \\\ =-\frac{2x( x^{2} -9)-4x(x^2+9)}{( x^{2} -9)^3} = -\frac{2x^{3} -18x-4x^3-36x}{( x^{2} -9)^3} = \frac{2x^{3} +54x}{( x^{2} -9)^3} =\frac{2x(x^2 +27)}{( x^{2} -9)^3} \\\ y''=0: \\\ \frac{2x(x^2 +27)}{( x^{2} -9)^3} =0\Rightarrow x=0$
$x=0$ - точка перегиба
При $x\in(-\infty;-3)\cup(-3;0]$ функция вогнута
При $x\in[0;3)\cup(3;+\infty)$ функция выпукла

6. Построение графика:
$y( 1)=\frac{1}{ 1^{2} -9} = \frac{1}{1-9} =- \frac{1}{8} \\\ y(- 1)=\frac{1}{8} \\\ y( 2)=\frac{2}{ 2^{2} -9} = \frac{2}{4-9} =- \frac{2}{5} \\\ y( -2)= \frac{2}{5} \\\ y(4)= \frac{4}{4^2-9} = \frac{4}{16-9} = \frac{4}{7} \\\ y(-4)= - \frac{4}{7} \\\ y( 5)=\frac{5}{ 5^{2} -9} = \frac{5}{25-9} = \frac{5}{16} \\\ y( -5)=- \frac{5}{16}$
$y( \frac{5}{2} )= \frac{ \frac{5}{2} }{( \frac{5}{2} )^2-9} = \frac{ \frac{5}{2} }{ \frac{25}{4} -9} = \frac{10}{25-9\cdot4} = \frac{10}{25-36} =- \frac{10}{11} \\\ y( -\frac{5}{2} )= \frac{10}{11} \\\ y( \frac{7}{2} )= \frac{ \frac{7}{2} }{( \frac{7}{2} )^2-9} = \frac{ \frac{7}{2} }{ \frac{49}{4} -9} = \frac{14}{49-9\cdot4} = \frac{14}{49-36} = \frac{14}{13} \\\ y( -\frac{7}{2} )= -\frac{14}{13}$

Artem112_zn (271k баллов) 02 Май, 18