Угол BCA=90 градусов, О - точка пересечения медиан треугольника АВС, угол СОМ=90...

Question

Угол BCA=90 градусов, О - точка пересечения медиан треугольника АВС, угол СОМ=90 градусов, ОМ=корень из двух. Найдите ОС и тангенс угла ОВС.

---

Answer 1

Угол BCA=90 градусов, О - точка пересечения медиан треугольника АВС,
угол СОМ=90 градусов,
ОМ=корень из двух.
Найдите ОС и тангенс угла ОВС.

Медианы треугольника точкой пересечения делятся на отрезки с отношением 2:1, считая от вершины треугольника.

ОМ= √2, ⇒ ВО=2 √2
Треугольник ВСМ- прямоугольный.
СО в нем - высота, т.к. угол СОМ =90°

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Следовательно,
СО²=ВО·ОМ=2 √2·√2 =4
СО= √4=2
tg ∠ ОВС=ОС:ВО=2:2√2= √2:2 

Answer 2

Как известно точка пересечения медиан делить  отрезок  2:1  считая от вершины 

значит отудого  ОВ=2√2.

теперь найдем стороны  ВС и ОС  так как  треугольник ВОС тоже прямоугольный   ,  обозначим    сторону ОС как х  ,  а сторону  ВС  как у  

тогда  по теореме пифагора 

{(2√2)^2+x^2=y^2   

 

а теперь МС  будет равна  x^2+√2^2 =MC^2, но так   как     МС ^2 +     y^2=  BM^2    следовательно 

{x^2+√2^2+y^2=(3√2)^2

система

 

 

{{(2√2)^2+x^2=y^2   

{x^2+√2^2+y^2=(3√2)^2

 

{8+x^2=y^2

{x^2+2+y^2=18

 

{x^2+8=y^2

{x^2+y^2=16

 

{x^2=y^2-8

{y^2-8+y^2=16

 

{2y^2=24

{y^2=12

{y=√12  только   положительное берем

{x= 2 

 

Значит     ОС  равна  2 ,    ВС  равна корню   из  12

 

теперь найдем угол    сперва по теореме косинусов затем переведем в синус затем  тангенс! можно конечно легче 

 

так как мы знаем  стороны 

 OC^2=OB^2+BC^2-2OB*BC*cosa

 cosa= OC^2-OB^2-BC^2/-2OB*BC

 cosa= 4-8-12/-2*2√2 *√12   =    -16      / -4√24   =  4/√24 =4/2√6 = 2/√6 

 теперь синус 

  cos^2a+sin^2a =1

  sin a=√1- 4/6  = √(2/6)

  tgOBC=  √(2/6)/2/√6     = √6 / 2√3 = √2/2   

 tga=√2/2

 a=arctg(√2/2)