Вычислите неопределенный интеграл.

A
2x²-sin2x+C
б
Выделим целую часть из дроби
2x³+5       | x²-x-2
2x³-2x²-4x 2x+2
-----------------
   2x²+4x+5
   2x²-2x-4
---------------
   6x+9
Дробную часть представим как сумму дробей
x²-x-2=(x-2)(x+1)
x1+x2=1 U x1*x2=-2
(6x+9)/(x-2)(x+1)=A/(x-2)+B/(x+1)
Ax+A+Bx-2B=6x+9
(A+B)x +(A-2B)=6x+9
{A+B=6⇒A=6-B
{A-2B=9
6-B-2B= 9
3B=-3
B=-1
A=7
Получили под интегралом
(2x³+5)/(x²-x-2)=(2x+2)+7/(x-2)-1/(x+1)
$\int\limits {(2x+2)} \, dx + \int\limits {7/(x-2)} \, dx - \int\limits {1/(x+1)} \, dx =$ $x^2+2x+7ln|x-2|-ln|x+1|+C$
3
Сделаем преобразования подинтегральной функции
(2x³+4x²+2x-1)/[(x+1)²(x²+2x+2)]=(2x+1)/(x²+2x+2)-1/(x+1)²=
(2x+2)/(x²+2x+2)-1/(2x+2x+2)-1/(x+1)²=
=(x²+2x+2)`/(x²+2x+2)-1/[(x+1)²+1]-1/(x+1)²
$\int\limits {(x^2+2x+2)`/(x^2+2x+2)} \, dx - \int\limits {1/[(x+1)^2+1]} \, dx -$ $\int\limits {1/(x+1)^2} \, dx =ln|x^2+2x+2|-arctg(x+1)+1/(x+1)+C$