1) Кто умеет веселиться тот и горя не боится.
ВеселитЬся - потому что это глагол неопределённой формы, отвечающий на вопрос что делатЬ?
Не_боится - не с глаголом пишется раздельно.
Не боится - потому что это глагол неопределённой формы, отвечающий на вопрос что делает.
2) Невежду никакими лекарствами не вылечишь.
Не вылечишь - не с глаголом пишется раздельно.
3) Кто любит трудиться тому без дела не садиться.
ТрудитЬся - потому что это глагол неопределённой формы, отвечающий на вопрос что делатЬ.
Не садиться - не с глаголом пишется раздельно.
Не садитЬся - потому что это глагол неопределённой формы, отвечающий на вопрос что делатЬ.
4) Не гордится худым хвалиться.
ХвалитЬся - потому что это глагол неопределённой формы, отвечающий на вопрос что делатЬ.
Не гордится - не с глаголом пишется раздельно.
Не гордитЬся - потому что это глагол неопределённой формы, отвечающий на вопрос что делатЬ
5) Плох тот солдат, который не надеется стать генералом.
Не надеется - не с глаголом пишется раздельно.
Не надеется - потому что этот глагол отвечает на вопрос что делает?
6) Не ошибается тот, кто ничего не делает.
Не ошибается - потому что этот глагол отвечает на вопрос что делает?
Не ошибается - не с глаголом пишется раздельно.
Не делает - не с глаголом пишется раздельно.