Найти собственные числа матрицы квадратичной формы Ф (х, у,z) = - x^2 + 2y^2 + 2yz + 2z^2

Матрица квадратичной формы имеет вид

$A_{3x3=}=\left[\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{array}\right]$

Пусть β - собственное число. Тогда |A-βE|=0

$\left[\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{array}\right]-\beta \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]=0 \\\ \left[\begin{array}{ccc}-1-\beta&0&0\\0&2-\beta&1\\0&1&2-\beta\end{array}\right]=0$

$(1-\beta) \left[\begin{array}{ccc}2-\beta&1\\1&2-\beta\end{array}\right]=0$

$(-1-\beta)((2-\beta)^2-1)=0 \\\ (\beta +1)(\beta-1)(\beta -3)=0 \\\ \beta _1=-1,\ \beta _2=1, \ \beta _3=3$