Розвязати нерівність sqrt(2x-1)+sqrt(x+15)<5.

Question

Дан 1 ответ

нуладно_zn · Answer 1 · 2018-05-02T05:44:06+0000

$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+15}\ \textless \ 5 \\$ Возведём в квадрат, не забывая про ОДЗ:
$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+15}\ \textless \ 5 \\ \Leftrightarrow \begin{cases} 2x-1\geqslant0 \\ x+15\geqslant0 \\ 2x-1+2\sqrt{(2x-1)(x+15)}+x+15\ \textless \ 25 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x\geqslant\frac{1}{2} \\ x\geqslant-15 \\ 3x+14+2\sqrt{2x^2+30x-x-15}\ \textless \ 25 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x\geqslant\frac{1}{2} \\ 2\sqrt{2x^2+29x-15}\ \textless \ 11-3x \end{cases}$
Второе неравенство снова возводим в квадрат, не забывая про неотрицательность правой части. (Неотрицательность подрадикального выражения уже учтена ОДЗ.)
$\Leftrightarrow \begin{cases} x\geqslant\frac{1}{2} \\ 4(2x^2+29x-15)\ \textless \ (11-3x)^2 \\ 11-3x\geqslant0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x\geqslant\frac{1}{2} \\ 8x^2+116x-60\ \textless \ 121-66x+9x^2 \\ x\leqslant\frac{11}{3} \end{cases}$

0\ \textgreater \ 0 \end{cases}" alt="\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{11}{3} \\ x^2-182x+181>0\ \textgreater \ 0 \end{cases}" align="absmiddle" class="latex-formula">
$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{11}{3} \\ \left[\begin{array}{l} x\ \textgreater \ 181 \\ x\ \textless \ 1 \end{array}\right. \end{cases}$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \begin{cases} \frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{11}{3} \\ x\ \textgreater \ 181 \end{cases} \\ \begin{cases} \frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{11}{3} \\ x\ \textless \ 1 \end{cases} \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \varnothing \\ \frac{1}{2}\leqslant x\ \textless \ 1 \end{array}\right.$

Ответ: $x\in[\frac{1}{2};1).$