Долг и обязанность сходны по правовой природе тем, что в обоих случаях - это обязательства. Долг (если о деньгах) - это денежные обязательства, обязанность - это обязательство выполнить определенные условия.
Если рассматривать долг - в контексте обязанности (служебный долг) , то тогда долг отличается от обязанности тем, что, обычно, обязанность закреплена в правовых нормах, а долг - закреплен в традициях и обычаях делового оборота. Например твой долг защищать свою Родину, ты не обязан это делать, но так как ты вырос в этой стране твой долг ее оберегать