Объем параллелепипеда равен смешаному произведению векторов, на которых он построен. Назовем эти вектора а, b, c. Теперь представьте себе этот параллелепипед, точнее его грани. Если Вы вспомните, как строится вектор, являющийся суммой двух других векторов, то Вы поймете, что диагонали граней нашего параллелепипеда есть векторные суммы:
a + b
a + c
b + c
А теперь давайте составим из этих векторов смешанное произведение и найдем объем построенного на этих векторах параллелепипеда:
([(a+b),(a+c)](b+c)) =
а теперь вспомним алгебраические свойства векторного произведения
= ([a,(a+c)](b+c)) + ([b,(a+c)](b+c)) = ([a,a](b+c)) + ([a,c](b+c)) + ([b,a](b+c)) + ([b,c](b+c)) = помним что векторное произведение коллинеарных векторов равно 0
= ([a,c](b+c)) + ([b,a](b+c)) + ([b,c](b+c)) =
Теперь вспомним свойства скалярного произведения векторов, а именно такое:
(a,(b + c)) = (a, b) + (a, c)
Применяя его получим:
= ([a,c],b) + ([a,c],c) + ([b,a],b) + ([b,a],c) + ([b,c],b) + ([b,c],c) =
Теперь вспомним, что скалярное произведение ортогональных векторов равно 0. Так, как в результате векторного произведения получается вектор, перпендикулярный векторам, входящим в векторное произведение, то произведения:
([a,c],c), ([b,a],b) , ([b,c],b), ([b,c],c)
Равны 0. Действительно в результате векторного произведения [a,c] получается вектор, перпендикулярный вектору с. А скалярное произведение этого вектора с вектором с равно 0. Точно так же и в других произведениях. Вообще говоря, если в смешаное произведение дважды входит один и тот же вектор - оно равно 0.
и остается у нас:
= ([a,c],b) + ([b,a],c) = 2([a,c],b)
Что и требовалось доказать.
Успехов!