Найдите сумму: 1+2+3+⋯+1000+1001.

Способ I. Решение через арифметическую прогрессию.
$a_1=1;~~d=1.$
Нужно вычислить сумму первых 1001 членов арифметической прогрессии:
$S_{1001}= \dfrac{2a_1+1000d}{2}\cdot 1001 =(a_1+500d)\cdot 1001=(1+500\cdot1)\cdot 1001=501501$

Способ II.

1 + 2 + 3 + ... + 1000 + 1001 = (1+1000) + (2 + 999) + (3 + 998) + ... + 1001 = 1001*500 + 1001 = 1001 * (500 + 1) = 1001 * 501 = 501501.