Решите неравенство f'(x)≤0: Производную нахожу, но дальше решение даётся без уверенности...

Question 1

Решите неравенство f'(x)≤0:
$a) \; \; f(x)=\frac{1}{x}-2x-1;\\ b)\;\;f(x)=\frac{1}{x^2}+54x+3.$

Производную нахожу, но дальше решение даётся без уверенности в правильности. Подзабыл тему.

Question 2

Решите задачу:

$1)\quad f(x)= \frac{1}{x} -2x-1\; ,\; \; x\ne 0\\\\f'(x)=-\frac{1}{x^2}-2\\\\f'(x) \leq 0\quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{x^2}-2 \leq 0\\\\\frac{1}{x^2}+2 \geq 0\\\\\frac{1+2x^2}{x^2} \geq 0\; ,\; x\ne 0\\\\Tak\; kak\; \; (1+2x^2) \geq 1\; \; i\; \; x^2\ \textgreater \ 0,\; \; to\; \; \frac{1+2x^2}{x^2 } \geq 0\; \; pri\; \\\\x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$

$2)\quad f(x)=\frac{1}{x^2}+54x+3\; ,\; \; \; x\ne 0\\\\f'(x)=-\frac{1\cdot 2x}{x^4}+54=-\frac{2}{x^3}+54\; ,\; \; x\ne 0\\\\f'(x) \leq 0\quad \Rightarrow \; \; \; - \frac{2}{x^3} +54 \leq 0\\\\\frac{54x^3-2}{x^3} \leq 0 \; ,\; \; \frac{(\sqrt[3]{54}x-\sqrt[3]2)(\sqrt[3]{54^2}x^2+\sqrt[3]{108}x+8)}{x^3} \leq 0\; ,\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]2\\\\\sqrt[3]{54^2}x^2+\sqrt[3]{108}x+8\ \textgreater \ 0\; ,\; t.k.\; \; D\ \textless \ 0\; \; \; \Rightarrow \\\\ \frac{3\sqrt[3]2x-\sqrt[3]2}{x^3} \leq 0\; ,\; \; \; \frac{\sqrt[3]2(3x-1)}{x^3 }\leq 0$

$Znaki\; drobi:\; \; \; +++(0)---[\, \frac{1}{3}\, ]+++\\\\x\in (0,\frac{1}{3}\, ]$

Question 3

Спасибо большое! 1-ое неравенство. Понятно, что (1+2x²) в любом случае больше 1. Но что если это было бы уравнением 1+2x²=0 и решая машинально получаем x=+-(1/√2). И чем это будет, если этот "корень" не даёт верного равенства, т.е. нуля? Вопрос кажется глупым, за что извиняюсь.

Question 4

Если 1+2x^2=0, то машинально может получиться. что 2x^2=-1 , откуда следует x^2=-1/2. И тут сразу (тоже машинально уже) должно сработать знание правила, "квадрат любого числа БОЛЬШЕ или РАВЕН НУЛЮ"... Поэтому вычислять х бессмысленно, корень чётной степени ( в том числе и квадратный) из отрицательных чисел не существует.

Question 5

Понял. И снова спасибо вам!