Раз надо найти ГМТ - а это какая-то линия - значит надо найти уравнение этой линии.
Координатный метод.
Имеем правильный треугольник АВС. Пусть вершина А этого треугольника будет началом координат.
Дано: АМ²+ВМ²+СМ²=(3а)²=9а², где а - сторона треугольника.
Пусть дана точка М(Х;Y).
Тогда имеем:
Координаты вектора АМ{X-Xa;Y-Ya}, модуль |AM|=√[(X-Xa)²+(Y-Ya)²].
Координаты вектора BМ{X-Xb;Y-Yb}, модуль |BM|=√[(X-Xb)²+(Y-Yb)²].
Координаты вектора CМ{X-Xc;Y-Yc}, модуль |CM|=√[(X-Xc)²+(Y-Yc)²].
Итак, (X-Xa)²+(Y-Ya)²+(X-Xb)²+(Y-Yb)²+(X-Xc)²+(Y-Yc)²=9а². Или
(X-0)²+(Y-0)²+(X-а/2)²+(Y-(√3/2)а)²+(X-а)²+(Y-0)²=9а².
Раскроем скобки:
X²+Y²+X²-aX+a²/4+Y²-√3*aY+(3/4)a²+X²-2aX+a²+Y²=9a².
3X²+3Y²-3aX+2a²-√3*aY=9a².
X²+Y²-aX+(2/3)a²-(√3/3)*aY=3a².
X²+Y²-aX-(√3/3)*aY=(7/3)a².
(X²-aX+(1/4)a²)+(Y²-(√3/3)*aY)-(1/4)a²=(7/3)a².
(X-(1/2)a)²+(Y²-(√3/3)*aY+(√3/6)²*a²)-(1/4)a²-(1/12)a²=(7/3)a².
(X-(1/2)a)²+(Y-(√3/6)*a)-(1/4)a²-(1/12)a²=(7/3)a².
(X-(1/2)a)²+(Y-(√3/6)*a)²=(1/4)a²+(1/12)a²+(7/3)a²=(8/3)a².
(X-(1/2)a)²+(Y-(√3/6)*a)²=(8/3)a².
То есть искомое ГМТ - это окружность с центром в точке О((1/2)a;(√3/6)a) радиуса R=√((8/3)a²)=(2√2/√3)*а. Или R=(2√6/3)а. Где а - сторона треугольника.
Ответ: искомое ГМТ является окружностью с центром О, совпадающим с центром данного нам треугольника и радиусом, равным R=(2√6/3)а.
Где а - сторона треугольника.
P.S. Заметим, что найденная точка О((1/2)a;(√3/6)a) лежит в центре треугольника, так как в правильном треугольнике высота равна h=(√3/2)*a и делится центром треугольника в отношении 2:1, считая от вершины. Значит центр треугольника лежит на расстоянии (1/3)*(√3/2)*a или (√3/6)*a. А это координата Y точки О.
Таким образом, расположив начало координат изначально в центр треугольника, мы бы облегчили арифметику вычислений.
