В каком случае в корне слова разв..вающиеся пишется е,а в каком и?
Зависит от значения в данном контексте. Например, развевающееся знамя, здесь пишется е, развивающиеся дети, здесь пишется и
Развевающиеся-от слова веет Например: развевающиеся по ветру волосы, развевающийся флаг Развивающиеся-от слова развитие Например: развивающиеся отрасли промышленности, развивающийся бизнес