Исследовать функцию и построить график. y=x^3-3x+2

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Исследовать функцию и построить график. $y=x^3-3x+2$

1) Находим область определения
Функция определена на всей числовой оси $x \in R$

2) Точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью Оу, т.е. х=0
у (0) = 0 - 3 * 0 + 2 = 2

С осью Ох , т.е. у =0
$x^3-3x+2=0$
Очевидно, что х=1 является корнем уравнения, тогда разделим многочлен на (х-1), т.е. разложим на множители
$x^3-3x+2= (x-1)(x-1)(x+2) =0$

Корни уравнения
$x_1 = 1 \ ; \ x_2 = -2$

Функция имеет три точки пересечения с осями
(-2; 0) , (0; 2) , (1; 0)

3) Исследуем функцию на четность
$y (-x) = (-x)^3-3(-x)+2 = -x^3+3x+2$

Получаем что $y(-x) \neq y(x)$ и   $y(-x) \neq -y(x)$ , то функция не является четно, ни нечетной. Функция общего вида.

4) Найдем асимптоты графика функции.
Функция не имеет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты $y=k\cdot x+b$ , где

$k=\mathop{\lim }\limits_{x\to \pm \infty } \frac{f\left(x\right)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \pm \infty } \frac{x^{3} -3x+2 }{x} =x^{2} -3 + \frac{2}{x}=+\infty$
Наклонных асимптот тоже нет.

5) Найдем экстремум функции и интервалы возрастания, убывания. Для этого вычислим первую производную

$y'=(x^3-3x+2)' = 3 x^{2} -3$

Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:
$3 x^{2} -3 = 0 \\ \\ x^{2} =1 \\ \\ x_{1,2} = \pm1$

Эти точки разбивают область определения на три интервала. Находим знак производной $y'$ в каждом из интервалов

х x<-1        -1 -1<x<1 1    x>1
y' +    0 - 0 +
y возраст. max убыв. min возраст.

Точка (-1; 4) - точка максимума, точка (1; 0) - точка минимума.

6) Строим график функции. Табличные данные и сам график, ниже

Vladislav006_zn (62.7k баллов) 02 Май, 18