При каких значениях переменной выражение имеет смысл

Деление на нуль запрещено.
Начинаем с конца:
$a+1=0\\a=-1$

Следовательно:
$a \neq -1$

Переходим на среднее выражение:
$\displaystyle 1-( \frac{a}{1- \frac{1}{a+1} } )=0\\\\( \frac{a}{1- \frac{1}{a+1} })=1\\\\\\a=1- \frac{1}{a+1} \\\\a= \frac{a}{a+1} \\\\a^2+a=a\\\\a^2=0\\\\a=0$

Следовательно:
$a \neq 0$

Ответ: При $a \neq 0,-1$