Две окружности, радиус одной из которых вдвое больше радиуса другой, касаются друг друга...

0 голосов
63 просмотров

Две окружности, радиус одной из которых вдвое больше радиуса другой, касаются друг друга в точке C. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная, касающаяся этих окружностей в точках A и B. Найдите сумму AB+BC, если радиус меньшей окружности равен корени из 3 умножить на разность двух и корня из двух

Геометрия (116 баллов) | 63 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Пусть K и M - центры малой и большой окружностей соответственно. KA \perp AB, MB \perp AB. КА = r, MB = 2r.
Проведем прямую КТ, параллельную АВ, KT \perp MB.
Из прямоугольного треугольника КТМ, где
КМ = КС + СМ = r + 2r = 3r
МТ = МВ - ТВ = 2r - r = r
KT = \sqrt{KM^{2}-MT^{2}}=\sqrt{(3r)^{2} - r^{2}} = 2r\sqrt{2}.
Значит, АВ = КТ = 2r\sqrt{2}.

Из треугольника КТМ cos \angle M = \frac{MT}{KM} = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3}

Из треугольника СМВ, где СМ = МВ = 2r, по теореме косинусов
BC^{2} = CM^{2}+ MB^{2}-2*CM*MB*cos \angle M
BC^{2} = (2r)^{2}+ (2r)^{2}-2*2r*2r*\frac{1}{3}
BC^{2} = 8r^{2} -\frac{8r^{2}}{3}
BC^{2} = \frac{16r^{2}}{3}
BC = \frac{4r}{\sqrt{3}}

AB + BC = 2r\sqrt{2} + \frac{4r}{\sqrt{3}} = 2r(\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{3}})= \frac{2r(\sqrt{6}+2)}{\sqrt{3}}

И если я правильно расшифровала вашу текстовую запись, что r = \sqrt{3}*(2-\sqrt{2}), то AB + BC = \frac{2*\sqrt{3}(2-\sqrt{2})(\sqrt{6}+2)}{\sqrt{3}}=4*(\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})  

(1.3k баллов)
Похожие задачи