+∞ ∑ \frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n} } n=1 исследовать сходимость ряда,в случае...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Исследовать сходимость ряда Σ $\frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n}}$ , в случае сходимости найти его сумму.
Решение:
Для исследования сходимости удобно в начале представить данный ряд как сумму двух рядов положительного и знакопеременного

Σ $\frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n} }= \frac{3 ^{n}}{12^{n} }+ \frac{(-4) ^{n}}{12^{n} }=\frac{1}{4^{n} }+ \frac{1}{(-3)^{n} }$
Оба ряда исследуем на сходимость применяя радикальный признак Коши.
Если $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\ \textless \ 1$ , то числовой ряд сходится.
Положительный ряд
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{4^n} }= \frac{1}{4} \ \textless \ 1$
Следовательно первый ряд сходится
Второй ряд знакопеременный так как при четных значениях n значения ряда положительные при нечетных значениях n значения ряда отрицательные. Данный ряд сходится если сходится такой же полностью положительный ряд. Сходимость положительного ряда докажем аналогично предыдущему ряду.
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{3^n} }= \frac{1}{3} \ \textless \ 1$
Из сходимости положительного ряда следует сходимость знакопеременного ряда.
Следовательно из сходимости двух рядов следует сходимость суммы этих рядов или исходного ряда.

Найдем суммы этих рядов представляющих собой бесконечную геометрическую прогрессию.
$S = \frac{b_1}{1-q}$
Для первого ряда
$S = \frac{ \frac{1}{4} }{1- \frac{1}{4} }= \frac{1}{3}$
Для второго ряда
$S = \frac{ \frac{-1}{3} }{1- \frac{1}{3} }= -\frac{1}{4}$
Находим сумму исходного ряда
$S= \frac{1}{3}- \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

Minsk00_zn (11.0k баллов) 02 Май, 18