Барабанщик и барабанчик - существительные и однокоренные слова, но смысл у них разный!
Барабанщик - человек, который барабанит на барабане. (Суффикс - щик-).
Барабанчик - неодушевленное, уменьшительно-ласкательная форма слова БАРАБАН. (Суффикс -чик-).
Пожарища.
За Бородино, если имеешь в виду это место.
За Бородиным, если имеешь в виду за кем-то, фамилия кого Бородин.
Пример:
Состоялась битва за Бородино.
Он спрятался за Бородиным Иваном Сергеевичем.