15
(9^x-6*3^x+4)/(3^x-5)+(6*3^x-51)/(3^x-9)≤3^x+5
3^x=a
(a²-6a+4)/(a05)+(6a-51)/(a-9)-(a+5)/[(a-5)(a-9)≤0
(a³-6a²+4a-9a²+54a-36+6a²-51a-30a+255-a³+9a²+25a-225)/[(a-5)(a-9)≤0
(2a-6)/[(a-9)(a-5)≤0
a=3 a=9 a=5
_ + _ +
--------------[3]--------------(5)-----------------(9)-------------------
a≤3⇒3^x≤3⇒x≤1
5<3^x<9⇒log(3)5<x<2<br>x∈(-∞;-1] U (log(3)5;2)
13
1-2sin²x=1-sinx
sinx-2sin²x=0
sinx(1-2sinx)=0
sinx=0⇒x=πn,n∈z
-5π/2≤πn<π<br>-5≤2n<2<br>-2,5n=-2⇒x=-2π
x=-1⇒x=-π
n=0⇒x=0
sinx=1/2
x=π/6+2πn U x=5π/6+2πn
-5π/2≤π/6+2πn<π<br>-15≤1+12n<6<br>-16≤12n<5<br>-4/3≤n<5/12<br>n=-1⇒x=π/6-2π=-11π/6
n=0⇒x=π/6
-5π/2≤5π/6+2πn<π<br>-15≤5+12n<6<br>-20≤12n<1<br>-5/3≤n<1/12<br>n=-1⇒x=5π/6-2π=-7π/6
n=0⇒x=5π/6
18
{(|x|-5)²+(y-4)²=9 окружность радиусом 3 и центром (-5;4) или (5;4)
{(x+2)²+y²=a окружность радиусом √√а и центром (-2;0)
Чтобы система имела единственное решение,нужно чтобы окружности имели одну точку касания. (Смотреть чертеж во вложении. )
Соединим центр 0(-2;0) с центром О1(-5;4) и точку пересечения обозначим К и с центром О2(5;4) и точку пересечения обозначим М.
Опустим перпендикуляры из О1 и О2 на ось ох и обозначим А и В.Получили два прямоугольных треугольника АО1О и ВО2 0
ОА=3,О2А=4,ОВ=7,О1В=4,О2К=О1М=3
Применим теорему Пифагора
О2О=√(О2А²+ОА²)=√(9+16)=√25=5
ОК=О2О-О2К=5-3=2
О1О=√(О1В²+ОВ²)=√(49+16)=√65
ОМ=О1О-О1М=√√65-3
Ответ при а=2 или а=√65-3 система имеет единственное решение