Найдем эту высоту через площадь треугольника, так как все три стороны нам известны (даны координаты вершин треугольника).
Вектор АВ{-4;0;5}, его модуль (длина) |AB|=√(4²+0+5²)=√41.
Вектор BC{4;3;0}, |BC|=√(4²+3²+0)=5.
Вектор AC{0;3;5}, |AC|=√(0+3²+5²)=√34.
Поскольку стороны имеют "не красивую" длину, то
проще всего в нашем случае найти площадь по формуле S=(1/2)*a*b*Sinα, где а,b - стороны треугольника, α - угол между ними.
Найдем угол между векторами, например, АВ и АС.
Угол α между вектором a и b находится по формуле:
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)].
В нашем случае: cosA=(0+0+25)/(√41*√34)=25/√1394 ≈ 0,6697.
Это угол ≈47,96° Синус этого угла равен ≈0,7427.
Или так: SinA=√(1-625/1394)=√(769/1394)≈0,7427. Что то же самое.
Тогда площадь нашего треугольника равна
S=(1/2)*AB*AC*SinA или
S=(1/2)*√41*√34*√(769/1394)=(1/2)*√1394*√(769/1394)=(√769)/2.
Но S=(1/2)*AH*BC, отсюда АН=2S/BC или АН=(√769)/5 ≈ 5,55.
Ответ: высота АН=5,55.