Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции: Да, я вижу в ней формулу sin2x....

0 голосов
114 просмотров

Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции:
1) \; \int\limits^\frac{3\pi}{8}_\frac{\pi}{8} {12sin(\frac{\pi}{8}-x)cos(\frac{\pi}{8}-x)} \, dx
Да, я вижу в ней формулу sin2x. В первом решении у меня получился 6, а в повторном -3.

2) \; \int\limits^\frac{\pi}{3}_0 ({2sin2x-1} )\, dx
Мой ответ равен:
\frac{3}{2}-\frac{\pi}{3}
Если правильно, то вот в чём вопрос: в задании сказано "преобразуя подынтегральную функции". Вроде подынтегральная запись сильно напоминает какую-то формулу, но какую? Я просто интегрировал так:
\int\limits^\frac{\pi}{3}_0 ({2sin2x-1} )\, dx=-2*\frac{cos2x}{2}-x=-cos2x-x

Алгебра (25.6k баллов) | 114 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
1)\; \; \int\limits^{\frac{3\pi}{8}}_{\frac{\pi}{8}} {12sin(\frac{\pi}{8}-x)cos(\frac{\pi}{8}-x)} \, dx = \int\limits^{\frac{3\pi}{8}}_{\frac{\pi}{8}} {6sin(\frac{\pi}{4}-2x)x} \, dx =\\\\=-6\cdot \frac{-1}{2}\cdot cos(\frac{\pi}{4}-2x)|_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}}=3\cdot (cos(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4})-cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}))=\\\\=3\cdot (cos(-\frac{\pi}{2})-cos0)=3\cdot (0-1)=-3

2)  Первообразную нашли правильно и подстановку выполнили верно. Может, от вас хотели, чтобы наоборот, синус двойного угла расписали по формуле. Тогда будет такое решение:

\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} {(2sin2x-1)} \, dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} {(2\cdot 2sinx\cdot cosx-1)} \, dx =\\\\=[\, \int sinx\cdot cosx\, dx=[t=sinx,\; dt=cosx\, dx]=\int t\cdot dt=\\\\=\frac{t^2}{2}+C=\frac{sin^2x}{2}+C\; ]=\\\\=(4\cdot \frac{sin^2x}{2}-x)|_0^{\frac{\pi}{3}}=2sin^2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=2\cdot (\frac{\sqrt3}{2})^2-\frac{\pi}{3}=\frac{3}{2}-\frac{\pi}{3}\; .

P.S.\int sinx\cdot cosx\, dx=\int sinx\cdot d(sinx)=\frac{sin^2x}{2}+C
(831k баллов)
0

Спасибо! Нашёл свою ошибку. В 11 классе в главе интеграл должны проходить метод замены, как в решении второй задачи? В моём учебнике нет этой темы, отчего и задался вопросом.

оставил комментарий (25.6k баллов)
0

Такой интеграл можно ещё решить с помощью подведения под знак интеграла ( не переобозначать функцию новой переменной, а писать, дифференциал от какой функции стоит под знаком интеграла). Сейчас напишу, как это выглядит.

оставил комментарий (831k баллов)
Похожие задачи