Медианы AL и BM треугольника АВС пересекаются в точке К. Найдите длину отрезка СК, если...

Чертеж к задаче во вложении.

1) L-середина ВС, М-середина АС, значит, ML - средняя линия треуг.АВС. Отсюда LM||AB, LM=0,5AB=(√3)/2

2) ∠BAL=∠ALM, ∠ABM=∠BML (накрест лежащие)

3) ∠LСK=∠KMN (опираются на одну и ту же дугу KL)

∠KLM=∠KCM (опираются на одну и ту же дугу KM)

4) Из всего этого следует подобие треугольников АСК и ALM по двум углам. Из подобия берем отношения сходственных сторон:

$\frac{CK}{LM}=\frac{AC}{AL}=\frac{AK}{AM}$

Обозначим для удобства ВС=а, АС=b.

По свойству точки пересечения медиан треугольника

$AK=\frac{2}{3}AL$

$\frac{CK}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{b}{AL}=\frac{\frac{2}{3}AL}{\frac{b}{2}}$

Из равенства второго и третьего отношений получим

$\frac{b^2}{2}=\frac{2}{3}AL^2 \\\ b=\frac{2\sqrt3}{3}AL \\\ AL=\frac{b\sqrt3}{2}$

Теперь из первого и второго отношений:

$\frac{2CK}{\sqrt3}=\frac{2b}{b\sqrt3} \\\ CK=1$

Ответ: СК=1.