Помогите срочно! Нужно с графиком решить 3 примера! Умоляю, ставлю все свои баллы. Очень...

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

1
функция $y(x)=(x-1)^2$ пересекает ось ОХ в точке с абсциссой $1$ значит площадь, которую спросили найти в задаче, площадь криволинейного треугольника находим как:

$S_{ABC}= \int\limits^2_1 {(x-1)^2} \, dx = \int\limits^2_1 {(x-1)^2} \, d(x-1)= \frac{(x-1)^{2+1}}{2+1}|_1^2=$

$=\frac{(x-1)^{3}|_1^2}{3}= \frac{(2-1)^{3}-(1-1)^3}{3}= \frac{1-0}{3}= \frac{1}{3}$

2
функция $y(x)=2x-x^2$ - парабола ветками вниз, поскольку перед $x^2$ стоит минус

ищем точки пересечения этой параболой оси ОХ:
$2x-x^2=0$

$x(2-x)=0$

$x(x-2)=0$

парабола пересекает ось ОХ в точках с абсциссами $0$ и $2$

вершина параболы $(x_0;y_0)$ :
$x_0=- \frac{b}{2a} =- \frac{2}{2*(-1)}=1$
$y_0=y(x_0)=2*1-(1)^2=2-1=1$

искомая площадь:
$S= \int\limits^2_0 {(2x-x^2)} \, dx = 2\int\limits^2_0 {x} \, dx -\int\limits^2_0 {x^2} \, dx=2* \frac{x^2|^2_0}{2} - \frac{x^3|^2_0}{3} =$

$=2^2-0^2 - \frac{2^3-0^3}{3} =4- \frac{8}{3}= \frac{4*3-8}{3}= \frac{4}{3}$

3
функция $y(x)=4-x^2$ - парабола ветками вниз, поскольку перед $x^2$ стоит минус

ищем точки пересечения этой параболой оси ОХ:
$4-x^2=0$

$x^2-2^2=0$

$(x-2)(x+2)=0$

парабола пересекает ось ОХ в точках с абсциссами $-2$ и $2$

вершина параболы совпадает с точкой, в которой она, парабола, пересекает ось ОУ, и это точка: $(0;4)$ , это очевидно из того факта, что выражение $4-x^2$ принимает свое наибольшее значение $4$ при $x=0$ .

искомая площадь:
$S= \int\limits^2_{-2} {(4-x^2)} \, dx= 4\int\limits^2_{-2} {} \, dx- \int\limits^2_{-2} {x^2} \, dx =4x|_{-2}^2- \frac{x^3|_{-2}^2}{3} =$

$=4(2-(-2))- \frac{2^3-(-2)^3}{3} =4*4- \frac{8+8}{3}=16- \frac{16}{3}= \frac{16*3-16}{3}= \frac{32}{3}$

90misha90_zn (30.4k баллов) 02 Май, 18

Utem_zn · Answer 1 · 2018-05-02T16:03:45+0000

1. Чертим график и по нему определяем внешний вид искомой трапеции и пределы в которых она находится. В данном задании это 0 и 2. Так как геометрический смысл определённого интеграла это площадь, то остаётся найти этот интеграл:
$S= \int\limits^2_1 {(x-1)^2} \, dx = \int\limits^2_1 {(x^2-2x+1)} \, dx = \frac{x^3}{3} -x^2+x|_1^2=$
$=\frac{2^3}{3} -2^2+2-( \frac{1}{3}-1+1) = \frac{8}{3} -4+2- \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

2. Снова чертим график и по нему определяем пределы интегрирования, в этом задании это 0 и 2. Теперь находим интеграл
$S= \int\limits^2_0 {(2x-x^2)} \, dx =x^2- \frac{x^3}{3} |_0^2=2^2- \frac{2^3}{3}-0= \frac{4}{3}=1 \frac{1}{3}$

3. И опять график и пределы интегрирования: -2 и 2.
$S= \int\limits^2_{-2} {(4-x^2)} \, dx =4x- \frac{x^3}{3} |_{-2}^2=4*2- \frac{2^3}{3}-(4*(-2)- \frac{-2^3}{3}) =$
$=8- \frac{8}{3} -(-8+ \frac{8}{3})= 8+8- \frac{8}{3} - \frac{8}{3} =16- \frac{16}{3} =10 \frac{2}{3}$