О и Е соединительные буквы в сложных словах
ПОЛУ - всегда пишется слитно
ПОЛ....если половина,то через дефис если корень начинается с гласной
пол-улицы
если корень начинается с Л... пол-ладошки
если с большой буквы имя собственное..пол-Перми,пол-Москвы
Остальное -СЛИТНО..Полдень,полдороги,полупальто,полусумрак и т . д.