Тройная система. Олимпиадное задание x + (y-2)^2012 = z y + (z-2)^2012 = x z + (x-2)^2012...

$\begin{cases} & x+(y-2)^{2012}=z \\ & y+(z-2)^{2012}=x \\ & z+(x-2)^{2012}=y \end{cases}$

Сложим все три уравнения, получим: $x+(y-2)^{2012}+y+(z-2)^{2012}+z+(x-2)^{2012}=z+x+y \Rightarrow$
$\Rightarrow (y-2)^{2012}+(z-2)^{2012}+(x-2)^{2012}=0$

Сумма неотрицательных слагаемых(в данном случае — чётных степеней) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Отсюда
$\begin{cases} & (y-2)^{2012}=0 \\ & (z-2)^{2012}=0 \\ & (x-2)^{2012}=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} & y-2=0 \\ & z-2=0 \\ & x-2=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} & y=2 \\ & z=2 \\ & x=2 \end{cases}$

Ответ: $\{(2;2;2)\}$ .